關於凱利策略的具體操作: 以賽馬比賽為例
如果某匹馬的勝率為P，其賠率為A:1.如果P×(A+1)大於1，則在這匹馬上下注對你有利.
賭博公司會精心設計，以避免這種情況出現.但有時卻會發生這種情況，如果有一匹或多匹
馬對你有利,你該如何下注?
使用凱利策略解決這個問題.假設有5匹馬（A、B、C、D、E）參賽，每匹馬的勝率分別為
40%/30% /20%/8%/2% 賠率分別為13：8 \ 9：4 \ 9：2 \ 5：1 \ 20：1.
我們分別計算P（A+1）的值，分別為：1.05、0.975、1.1、0.48、0.42.按這些值的大小
排列順序為：C、A、B、D、E.
我們的策略應該是在前K匹馬上下注.當確定K以後，我們需要計算兩個值：前K匹馬的勝率之
和，計為P(K)；以及這前K匹馬相對應的1／（A+1）值的和，計獮(K).一旦我們發現A(K)
的值超過1，我們就停止這個過程.凱利策略只涉及那些使得A(K)的值小於1的馬!
對於每個使得A(K)小於1的K，分別計算出：B(K)＝（1-P(K)）／（1-A(K)）的值.比較B(K)
與第K匹馬對應的P*（A+1）的值，如果P*（A+1）的值大於B(K)，則在前K匹馬上下注.
在這個例子中：A(1)小於1；B(1)＝0.977，同時計算出我們在C上下注；B(2)=0.91485，
同樣可以在A上下注；B(3)等於0.772，所以我們也可以在B上下注.請注意：雖然B不是對我
們有利的馬，我們依然須在B上下注.由於A(4)大於1，我們不考慮K大於3的情況.故我們只在
C、A、B上下注.
最後一步我們確定在每匹馬上的下注額.下注比例為：（P(K)-B(K)）／（A(K)+1）.我們可
以計算出：我們可以拿出全部資金的6％下在C上、拿出全部資金的10.6％在A上下注、拿出
全部資金的6.25％在B上下注.
博彩玩家通常憑著他們對比賽的理解和莊家開出的賠率用直覺下注，這絕非輕而易舉，因為往往要同時面對多場比賽和賠率，注碼和投注組合都需要玩家做出理智的決定。很顯然，用全副身家去下注遲早會彈盡糧絕，而下注太小又所贏無幾。一定存在某種折衷方法……事實上，的確有這個方法！國外已經有專門的軟體，可以聰明地從數以千計的投注可能中找出最有利可圖的組合，並且給出最好的折衷注碼。
這裏不能不先提到久負盛名的凱利規則 (Kelly criterion)，國內的平面媒體和網上都有人介紹或討論過它。
凱利規則運用於這樣一個多輪次投注系統，它可以使每輪投注的資金增長平均值最大化。
Zave = ((1－k0) L + k0)^(S/N) * K0^(1－S/N)
其中
Zave 投注的平均資金增長係數
k0 每輪下注保留的資金占總資金比例；
1－k0 每輪下注注碼占總資金的比例；
L 下注賠率；
S 下注贏錢的輪次數；
N 總的下注輪次數；
S/N 總體下注成功率；
1－S/N 總體下注失敗率。
凱利規則隱含了這樣一個前提假設，投注的每個輪次都是無限統一的，或者說，要求每個輪次的勝出概率都等於上式中的總體下注成功率。如果賽果的公平賠率(Fair odds)可以計算得絕對精確的話，凱利規則不失為一種最好的策略。
然而實際上，公平賠率即使從計算過程中也會累積明顯的誤差。一個現實的多輪次投注過程的整體概率本質上服從於離散分佈，這一點背離了上述規則的前提假設。如果做為下注規則，凱利規則會指引玩家投下偏高的注碼，並可能導致危險的投注崩潰。
[原創]關於凱利方程的具體應用
經過一段時間的磨練，個人的勝率如果達到60%，但始終沒有什麼盈利，這時候就是需要考慮投資策略的問狻?br>凱利公式的基本公式
p*o-1
b= ————－－ -----------------------------(基礎方程)
o-1
p = 勝率（the probability of collecting the bet. (0<p<1)）
o = 含本金的賠率（the gross payoff (a mul***le of stake) in case you win. (o>1)）
b = 最佳投注額比例（gives the fraction of your current bankroll that should be wagered on that specific bet.）
也可以演變為
另一種解釋（引用Ed Seykota 的風險管理文章中的描述）
The Kelly Formula
K = W - (1-W)/R ---------------------------------(個人因素方程)
K = 下一筆交易佔資本比例
W = 歷史勝率
R = 報酬 （放到足彩上，就是賠率減去1）
一般人常提到一個精明公式
精明的凱莉方程式：
b*(e*o-1)
opt=----------- -----------------------------(精明方程)
3*(o-1)
上式具體含義如下：
opt = 最佳投注額（Optimized Stake Size）
b = 可支配的總投注額（Current bankroll）
o = 小數形式的賠率（Odds available in decimal format）
e = 取勝預期或者說預計勝率（Estimated probability）
精明方程實際是基礎方程演變而來，為什麼除以係數3本人已經驗證，過程比較複雜就不細寫了，
可以告訴大家精明方程是最可*的，如果按照這個方程並且自身平均勝率高於賠率反映勝率就可以穩定的達到平均每次投注有6%的預期利潤，不過要注意以下幾個方面：
1、賠率低於等於1.5的情況下，即便勝率很高，最終也是要虧錢的
2、賠率在1.5-2.1之間，屬於灰色區域，在這個區域間，應當謹慎投注
3、賠率高於2.1的情況下，屬於凱利方程理想應用區域
4、根據個人因素方程，第2.3兩種情況中，影響最佳投注比例的是賠率的大小，所以選擇的賠率必須至少高於或者等於公平賠率
5、同樣根據個人因素方程，任何時候最佳投注比例都是小於公平賠率所反映的勝率百分比的，這就奉勸大家任何時候不要考慮半倉或者額外加注
6、p的計算不是你個人的勝率，而是公平賠率所反映的勝率百分比，這樣最符合凱利方程的原理，在選擇的賠率高於公平賠率時，w不動，r增加，凱利方程正好鼓勵加大投資；
最後不得不說本文中的公平賠率問題，目前存在有三種換算方法，一種是選擇整個市場均衡態的情況下理想的賠率體系，一種是按照獨立球隊分析模型（涉及埃羅/松泊等方法的運用）做出的賠率體系，一種是簡單選擇市場平均賠率（最好加以標準偏差分析方法進行調整），這三種方法各有利弊，個人採用一般是第一種和第三種。
這篇文章寫過很久了，現在要補充的還是有很多的，只是在沒有成熟之前，實在不敢拿出來。關於1.5的說法，以前偶僅僅是粗略估算，最近看了國外一位朋友，精確計算為1.54，估計方法都差不多了。
凱利研究在國外只是作為籌碼運作的一個方式，實際上也只能這樣。有朋友拿凱利指數進行比賽預測，確實有時候很準，但個人認為還是個歧途。不信的話，可以拿足夠的資料作試驗，就可以發現比用一家公司的賠率進行凱利分析，最終賽果還是會平均分配的。當然凱利指數可以作為一個分析參數，關鍵是如何濾出雜波。
凱利公式的推導過程不難，學習凱利公式主要作用是建立良好的投資心態，有很多例子可以證明它比平額下注和平率下注確實能帶來更多的收益。個人倒是想過完節以後專門弄個理財欄目，按照凱利和均衡態思路進行模擬投注。
凱利研究的方向目前看的主要是串研究，也就是在串的情況下如何運用凱利公式達到最佳性價比。低賠率（主要指1.54以下的）並不是沒有投資價值，偶看過一個實驗，是根據本賽季英超來做的，粗略的說，是根據自己判斷每輪10場都下，如果下單場所有都是首賠低賠率或者標盤雙選（這裏的賠率一般都在1.55及以下）的話，基本無輸贏，10串2可以達到每輪5%的收益，10串3更理想些的，每輪可以達到9%的收益，這裏說的是按照平率下注。如果按照凱利公式來走會怎樣？遇到的首要問題似乎用公平賠率來處理太麻煩，暫且只好用粗略的自己的勝率來做。
[ 本帖最後由 coffee 於 14-7-2008 06:20 AM 編輯 ]
